流體運(yùn)動(dòng)的拉格朗日描述和歐拉描述及聲波方程

2017-02-27  by:CAE仿真在線  來源:互聯(lián)網(wǎng)

何謂拉格朗日描述和歐拉描述?

欲描述流體的運(yùn)動(dòng),既可選擇拉格朗日坐標(biāo)體系,也可采用歐拉坐標(biāo)體系。拉格朗日描述取初始時(shí)刻(如時(shí)間t=0)流體質(zhì)點(diǎn)的三維位置矢量R=(a,b,c)作為空間變量,并標(biāo)記該流體質(zhì)點(diǎn)。隨著流體的運(yùn)動(dòng),t時(shí)刻的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至新的三維空間位置r=(x,y,z)。顯然,r與R具有函數(shù)關(guān)系:r=r(R,t),或用笛卡爾坐標(biāo)分量表示

該關(guān)系其實(shí)給出了流體質(zhì)點(diǎn)在空間的運(yùn)動(dòng)軌跡。由此可求出質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度——流速v。

顯然,不同的質(zhì)點(diǎn)具有不同的速度,即流速v不但是時(shí)間的函數(shù),也是初始位置R的函數(shù)。不僅如此,任何描述流體狀態(tài)的物理量(例如密度ρ)均屬流體質(zhì)點(diǎn)所“攜帶”的。不同質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)當(dāng)然不同;故流體的任何物理量不僅是時(shí)間t的函數(shù),也是初始坐標(biāo)矢量R的函數(shù),例如,密度ρ=ρ(R,t)。此種以流體質(zhì)點(diǎn)初始位置R和時(shí)間t描述流體運(yùn)動(dòng)的方法,即所謂的拉格朗日描述,其中R=(a, b, c)是拉格朗日坐標(biāo)。其實(shí),拉格朗日坐標(biāo)相當(dāng)于質(zhì)點(diǎn)的“標(biāo)簽”。所以,拉格朗日描述記錄了質(zhì)點(diǎn)的時(shí)間演化,既可追溯質(zhì)點(diǎn)的既往,也可預(yù)測(cè)質(zhì)點(diǎn)的未來。

與一般的流動(dòng)不同,聲學(xué)問題中的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)是圍繞初始位置R=(a, b, c)的質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)。記振動(dòng)位移矢量為δr=(ξ,η,ζ),則r=R+δr,或者,

當(dāng)然,位移δr也是初始位置R=(a, b, c)和時(shí)間t的函數(shù):δr=δr(R, t),或用分量表示:

與拉格朗日描述不同,歐拉描述乃現(xiàn)實(shí)主義的描述手法。它僅關(guān)注“現(xiàn)在”——t 時(shí)刻處于空間r=(x,y,z)位置的質(zhì)點(diǎn)。在此描述下,所有物理量皆表為空間位置坐標(biāo)r(歐拉坐標(biāo))和時(shí)間t的函數(shù),例如密度ρ=ρ(r,t)。所以,歐拉描述所描繪的是流場(chǎng)在不同時(shí)刻的瞬時(shí)空間分布,其空間坐標(biāo)r=(x,y,z)是純數(shù)學(xué)的獨(dú)立變量。

兩種描述的關(guān)系

雖然如此,t 時(shí)刻位于空間位置r=(x,y,z)的流體質(zhì)點(diǎn)并非“空穴來風(fēng)”,而是從別處遷移而來。運(yùn)動(dòng)規(guī)律r=r(R,t)或公式(1)可對(duì)質(zhì)點(diǎn)“追根溯源”:原則上,根據(jù)當(dāng)前的空間位置r反推初始位置R。據(jù)此,歐拉描述和拉格朗日描述可以相互轉(zhuǎn)換。為明確起見,特以上標(biāo)(L)和(E)分別標(biāo)記拉格朗日和歐拉體系下的物理量,例如密度ρ(L)(R,t)和ρ(E)(r,t)。據(jù)上論述,

諸如聲波這般流體運(yùn)動(dòng),位移δr的量值一般很小(即,δr的范數(shù)||δr||<<1),因此可以對(duì)上式右端作泰勒展開:

式中,歐拉空間的梯度算符:

可見,已知位移δr=(ξ,η,ζ),就可從歐拉體系的物理量求得拉格朗日體系的對(duì)應(yīng)量。反之,若函數(shù)r=r(R,t)連續(xù)可逆,可求得逆函數(shù)R=R(r,t),從而可把拉格朗日體系的物理量轉(zhuǎn)換為歐拉體系的【注1】。特別是,對(duì)于小位移振動(dòng)的情形,有如下展開

式中,拉格朗日空間的梯度算符

可見,拉格朗日描述的物理量ρ(L)(R,t)與歐拉描述的ρ(E)(r,t)僅相差量級(jí)O(||δr||)。

數(shù)學(xué)上,函數(shù)關(guān)系r=r(R,t)或公式(1)所表達(dá)的是以時(shí)間t為參變數(shù)的空間映射:

矢量r在拉格朗日空間的梯度:

是一個(gè)“矢量的矢量”——張量,刻畫了映射的性質(zhì),式中I是單位張量。J也可用等價(jià)的雅可比矩陣形式表示:

式中的下標(biāo)表示對(duì)相應(yīng)變量(a,b,c)的導(dǎo)數(shù),例如:

連續(xù)性方程

設(shè)某質(zhì)點(diǎn)的初始體積ΔV0(→0),t 時(shí)刻的體積ΔV。根據(jù)數(shù)學(xué)分析,雅可比矩陣J的行列式(記為|J|)是在映射(4)下質(zhì)點(diǎn)體積元的縮放因子:

設(shè)流體初始的質(zhì)量密度為ρ0,t時(shí)刻的質(zhì)量密度為ρ。根據(jù)質(zhì)量守恒定律,ρ0ΔV0=ρΔV。將上式代入,得到拉格朗日坐標(biāo)下的連續(xù)性方程

對(duì)于一維的情形,根據(jù)定義(6)知|J|=1+ξa,公式(7)遂簡(jiǎn)為:

運(yùn)動(dòng)方程

理想流體的運(yùn)動(dòng)遵循歐拉方程:

式中,P是流體壓強(qiáng)。在拉格朗日體系中,速度v也是拉格朗日坐標(biāo)R=(a,b,c)和時(shí)間t的函數(shù):v = v(R, t)。所以,加速度dv/dt是對(duì)v的時(shí)間偏導(dǎo)數(shù)。如此,上列歐拉方程可改寫為

在此方程的等式兩端同時(shí)點(diǎn)乘矢量:

并利用微分關(guān)系

得到

同理,可得

三個(gè)方程合而為一,可表為

此即拉格朗日體系的流體運(yùn)動(dòng)方程。式中,雅可比矩陣J由公式(6)給出?；蛘?利用公式(5)用位移矢量δr表示,

如以矩陣表示,則可表為矩陣形式

在一維情形,J = 1+ξa,方程(8)于是簡(jiǎn)化為:

其中已經(jīng)利用了連續(xù)性方程(7a)?？梢?拉格朗日描述下質(zhì)點(diǎn)的一維運(yùn)動(dòng)方程是線性的。當(dāng)然,質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)仍是非線性的,集中體現(xiàn)在連續(xù)性方程(7)以及(下述的)狀態(tài)方程中。

一維理想流體的非線性聲波方程

理想流體(如氣體)滿足絕熱狀態(tài)方程:P=P(ρ)。利用連續(xù)性方程 (7a),則:

代入一維運(yùn)動(dòng)方程(10)的右端,得到非線性聲波方程

其中P'(ρ)=dP/dρ。如果|ξa|<<1,則可對(duì)方程(11)作線性化處理,從而得到熟知的線性波動(dòng)方程。若|ξa|<1,則有泰勒展開:

式中,c0是熟知的線性聲速,而β是非線性系數(shù),衡量媒質(zhì)本身(二次)非線性的大小。若僅計(jì)及二階非線性小量,則方程(11)可近似為

方程的左端是標(biāo)準(zhǔn)的一維波動(dòng)方程,而右端的非齊次項(xiàng)是二次非線性的貢獻(xiàn)。

【注1】在諸如湍流等復(fù)雜流動(dòng)情形,可逆性或許不存在,兩種描述難于轉(zhuǎn)換。

本文來源于網(wǎng)易聲之韻博客,作者王新龍,南京大學(xué)聲學(xué)研究所。

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